如何给小学生讲清楚ECC椭圆曲线加密

对于RSA这套公私钥加密的思路,我以为我挺明白的,运用的娴熟自如。
当然现在RSA用的不多,而是基于ECC曲线来做签名验签,最大名鼎鼎的莫过于比特币。
可是前两天和别人讲代码,被问了ECC为什么可以用来做验签,发现自己讲不清楚。
所以做了点功课,来把这个问题讲清楚。
首先我们跳过ECC曲线是个啥这个话题。
这部分我觉得对理解这个逻辑,帮助并不大,黑盒掉就好了。
因为我们是程序员,有类型这样的表述神器,非常清晰,你一点都不用害怕。
只说原理,非伪代码,比如关于曲线阶数不说不影响理解原理,我就不说了。
ECC曲线加密核心原理
下面我们讲的,都在同一条曲线上,这条曲线上的点支持一种乘法运算
设 Q 为曲线上一点
若点R = Q * Q,也可以记为 R=2.Q
若点R =Q*Q*Q,可以记为 R =3.Q
若点R =Q*Q*……*Q ,一共n个Q,则可以记为R=n.Q
然后原理来了 
给定n 和 Q 求 R 很容易,给定R 和 Q,则非常难求出n
就这一条原理,然后其他的都是证明出来的。
 
公钥和私钥
先复习一下原理
设Q为曲线上一点,k为一个整数
令点K = k.Q,若给定 k 和 Q,很容易求出 K
若给定 K 和 Q ,很难求出k
我换个说法给你看
设G为曲线上一点,k为私钥
令公钥K=k.G, 若给定私钥和G,很容易求出公钥
若给定公钥和G,很难求出私钥
是不是有点意思了,从这里我们也可以看出,ECC的私钥就是一个整数,一个很大很大的整数,Int64 别提了,常用的ECC算法,私钥是一个256bit的整数
而ECC的公钥是一个点,虽然平常看到他们不是字符串就是bytearray,但是私钥是整数,公钥是一个点(二维坐标)
ECC曲线有很多应用,最常用的是加密解密和签名验证
加密原理
加密步骤
先设 K=k.G,(公钥=约定点G阶乘私钥)。
1. 欲传递的数据m,先把他编码为一个坐标点M(怎么编码是你的事,比如一个字符串,你把他先bytes,然后变成大整数,当坐标的x坐标,纯属举例)
2. 整个随机整数r
3. 计算点 C1 = M+r.K看到这里肯定有点晕,这里出现了点的加法,还有r.K,r.K 就是 r 个 K相乘,K是公钥。就是 点C1 等于 r个公钥相乘加上坐标点M
4. 计算点C2 = r.G G是曲线上面约定好的一点,就是k=k.G(公钥=约定点G阶乘私钥)那个G,r是前面的随机整数
加密完成,可以看出加密需要公钥,加密将坐标点M 加密为 C1 C2 两个坐标点
加密者只需发送C1 C2 给对方
解密步骤
1. 由C1=M+r.K 可知 M =C1-r.K
2. 由K=k.G(公钥=私钥)将K代入上式可得 M=C1-r.k.G
3. 由C2=r.G 带入上式,可得 M=C1-k.(r.G)=C1-k.C2
4. 据上面推导的结论 M=C1-k.C2,则解密者根据收到的C1,C2,用自己的私钥,可以计算出加密坐标点M
签名验证原理
签名步骤
先设 K=k.G,(公钥=约定点G阶乘私钥),设欲签名数据为m,签名用私钥
1. 对欲签名数据进行处理 e=hash(m),e是一个巨大整数,Hash 算法不用解释了吧,m是必选,ECSDA实现中还把一个坐标放进去一起算hash,为了便于理解原理,我就不代入那些了,只说e
2. 整个随机整数r
3. 计算s=r-e*k,这个式子纯粹是整数运算,结果s当然也是整数 ,s=随机数减去 hash*私钥,就这个意思。
签名完成
 
通常说签名(signdata)就是指s和r两个整数。
签名者发送 s、r、公钥K,欲签名数据m,则任何人可以验签。

验签步骤,验签用公钥

1. 对欲签名数据进行处理 e=hash(m)
2. 计算点V1=r.G(就是算公钥那个点G 阶乘随机数 r)
3. 计算点V2=s.G+e.K ( 点G阶乘签名数据s 加上 公钥阶乘 )
4. 若V1=V2 则验签成功,接下来证明
5. 若数据都是对的,则s =r-e*k成立
6. 此时设s=r-e*k,V2=s.G+e.K 将s展开 得 V2=(r-e*k).G+e.K
7. V2 =r.G-e.k.G+e.K
8. 因为K=k.G,代入上式,可得V2 = r.G – e.(k.G)+e.K = r.G -e.K+e.K
9. 上式抵消e.K之后得V2=r.G,可知假设s=r-e*k时,V2=r.G =V1
10. 反之,当V1=V2时,s=r-e*k成立,数据正确
没有什么太深得东西,只是把这个原理表述出来,加深自己的理解,对得起区块链从业者这个身份